Funciones de composición: conceptos básicos, fórmulas y ejemplos

la función de composición es

La función de composición es la combinación de una operación de dos tipos de funciones f (x) y g (x) para que pueda producir una nueva función.

Fórmulas de función de composición

El símbolo de la operación de la función de composición está con "o", entonces se puede leer composición o círculo. Esta nueva función se puede formar a partir de f (x) y g (x), a saber:

  1. (niebla) (x) lo que significa que g se introduce en f
  2. (gof) (x) lo que significa que f se pone en g

En la composición, la función también se conoce como función única.

¿Qué es una función única?

Una sola función es una función que se puede indicar con las letras "niebla" o se puede leer "f rotonda g". La función "niebla" es la función g que se realiza primero y luego seguida de f.

Mientras tanto, la función "gof" lee la función g en la rotonda f. Por tanto, "gof" es una función en la que f se realiza primero en lugar de g.

Entonces la función (niebla) (x) = f (g (x)) → función g (x) se compone como una función f (x)

Para comprender esta función, considere la siguiente imagen:

la función de composición es

Del esquema de fórmulas anterior, la definición que tenemos es:

Si f: A → B está determinado por la fórmula y = f (x)

Si g: B → C está determinado por la fórmula y = g (x)

Entonces, obtenemos el resultado de las funciones g y f:

h (x) = (gof) (x) = g (f (x))

De la definición anterior podemos concluir que las funciones que involucran a las funciones f y g se pueden escribir:

  • (gof) (x) = g (f (x))
  • (niebla) (x) = f (g (x))

Propiedades de la función de composición

Hay varias propiedades de la función de composición que se describen a continuación.

Si f: A → B, g: B → C, h: C → D, entonces:

  1. (niebla) (x) ≠ (gof) (x). La naturaleza conmutativa no se aplica
  2. [fo (goh) (x)] = [(niebla) oh (x)]. es asociativo
  3. Si la función identidad es I (x), entonces (fol) (x) = (lof) (x) = f (x)
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Ejemplo de problemas

Problema 1

Dadas dos funciones, cada una f (x) y g (x), respectivamente, a saber:

f (x) = 3x + 2

g (x) = 2 - x

Determinar:

a) ( f o g ) (x)

b) ( g o f ) (x)

Responder

Conocido:

f (x) = 3x + 2

g (x) = 2 - x

( f o g ) (x)

"Inserta g (x) en f (x)"

ser - estar:

( f o g ) (x) = f ( g (x))

= f (2 - x)

= 3 (2 - x) + 2

= 6 - 3x + 2

= - 3x + 8

( G o f ) (x)

"Inserta f (x) en g (x)"

Hasta que se convierta en:

( f o g ) (x) = g ( f (x))

= g (3x + 2)

= 2 - (3x + 2)

= 2 - 3x - 2

= - 3x

Problema 2

Si se sabe que f (x) = 3x + 4 y g (x) = 3x, ¿cuál es el valor de (niebla) (2)?

Responder:

(niebla) (x) = f (g (x))

= 3 (3x) + 4

= 9x + 4

(niebla) (2) = 9 (2) + 4

= 22

Problema 3

Dada la función f (x) = 3x - 1 y g (x) = 2 × 2 + 3. ¿El valor de la composición de la función ( g o f ) (1) =….?

Responder

Conocido:

f (x) = 3x - 1 y g (x) = 2 × 2 + 3

( G o f ) (1) = ...?

Inserte f (x) en g (x) y luego complete con 1

( G o f ) (x) = 2 (3 x - 1) 2 + 3

( G o f ) (x) = 2 (9 x 2 - 6x + 1) + 3

( G o f ) (x) = 18x 2 - 12x + 2 + 3

( G o f ) (x) = 18 × 2 - 12x + 5

( G o f ) (1) = 18 (1) 2 - 12 (1) + 5 = 11

Problema 4

Tiene dos funciones:

f (x) = 2x - 3

g (x) = x2 + 2x + 3

Si (niebla) (a) es 33, calcule el valor de 5a

Responder:

Buscar primero (niebla) (x)

(niebla) (x) es igual a 2 (x2 + 2x + 3) - 3

(niebla) (x) es igual a 2 × 2 4x + 6 - 3

(niebla) (x) es igual a 2 × 2 4x + 3

33 es lo mismo que 2a2 4a + 3

2a2 4a - 30 es igual a 0

a2 + 2a - 15 es igual a 0

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Factor:

(a + 5) (a - 3) es igual a 0

a = - 5 o igual a 3

A

5a = 5 (−5) = −25 o 5a = 5 (3) = 15

Problema 5

Si (niebla) (x) = x² + 3x + 4 y g (x) = 4x - 5. ¿Cuál es el valor de f (3)?

Responder:

(niebla) (x) es igual a x² + 3x + 4

f (g (x)) es igual a x² + 3x + 4

g (x) es igual a 3 Entonces,

4x - 5 es igual a 3

4x es igual a 8

x es igual a 2

f (g (x)) = x² + 3x + 4 y para g (x) igual a 3 obtenemos x igual a 2

Hasta: f (3) = 2² + 3. 2 + 4 = 4 + 6 + 4 = 14

Por tanto, la explicación de la fórmula de la función de composición es un ejemplo del problema. Puede ser útil.