La inducción matemática es un método deductivo que se utiliza para probar afirmaciones verdaderas o falsas.
Debes haber estudiado inducción a las matemáticas en la escuela secundaria. Como sabemos, la inducción matemática es una extensión de la lógica matemática.
En su aplicación, la lógica matemática se utiliza para estudiar enunciados que son falsos o verdaderos, equivalentes o negables y sacar conclusiones.
Conceptos básicos
La inducción matemática es un método deductivo que se utiliza para probar afirmaciones verdaderas o falsas.
En el proceso, se extraen conclusiones basadas en la validez de las declaraciones generalmente aceptadas, de modo que declaraciones específicas también pueden ser verdaderas. Además, una variable en la inducción matemática también se considera un miembro del conjunto natural de números.
Básicamente, hay tres pasos en la inducción matemática para probar si una fórmula o declaración puede ser verdadera o viceversa.
Estos pasos son:
- Demuestre que un enunciado o fórmula es verdadero para n = 1.
- Suponga que un enunciado o fórmula es verdadero para n = k.
- Demuestre que un enunciado o fórmula es verdadero para n = k + 1.
A partir de los pasos anteriores, podemos suponer que una declaración debe ser verificable para n = k y n = k + 1.
Tipos de inducción matemática
Hay varios tipos de problemas matemáticos que se pueden resolver mediante inducción matemática. Por tanto, la inducción matemática se puede dividir en tres tipos, a saber, serie, división y desigualdad.
1. Serie
En este tipo de series, generalmente el problema de inducción matemática se encuentra en forma de suma sucesiva.
Entonces, en el problema de la serie, la verdad debe probarse en el primer término, el término k y el término th (k + 1).
2. División
Los tipos de inducción matemática de división se pueden encontrar en varios problemas que usan las siguientes oraciones:
- a es divisible por b
- b factor de a
- b divide a
- a múltiplos b
Estas cuatro características indican que el enunciado se puede resolver mediante inducción matemática de tipo división.
Lo que hay que recordar es que si el número a es divisible por b, entonces a = bm donde m es un número entero.
3. Desigualdad
El tipo de desigualdad se indica con un signo mayor o menor que el del enunciado.
Hay propiedades que se utilizan a menudo para resolver tipos de desigualdades por inducción matemática. Estas características son:
- a> b> c ⇒ a> c o un <b <c ⇒ a <c
- a 0 ⇒ ac <bc o a> byc> 0 ⇒ ac> bc
- un <b ⇒ a + c <b + c o a> b ⇒ a + c> b + c
Original text
Ejemplo de problemas de inducción matemática
El siguiente es un problema de ejemplo para que pueda comprender mejor cómo resolver una prueba de fórmula usando inducción matemática.
Fila
Ejemplo 1
Demuestre 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1), para cada n números naturales.
Responder:
P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)
Se demostrará que n = (n) es cierto para todo n ∈ N
Primer paso :
Se mostrará que n = (1) es correcto
2 = 1 (1 + 1)
Entonces, P (1) es correcto
Segundo paso :
Suponga que n = (k) es cierto, es decir,
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Tercer paso
Se mostrará que n = (k + 1) también es cierto, es decir
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
De los supuestos:
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)
Suma ambos lados con u k + 1 :
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Entonces, n = (k + 1) es correcto
Ejemplo 2
Usa la inducción matemática para probar ecuaciones
Sn = 1 + 3 + 5 +7 +… + (2n-1) = n2 para todos los números enteros n ≥ 1.
Responder:
Primer paso :Se mostrará que n = (1) es correcto
S1 = 1 = 12
Segundo paso
Suponga que n = (k) es cierto, es decir
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Tercer paso
Demuestre que n = (k + 1) es cierto
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
recuerda que 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
entonces
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
entonces se prueba la ecuación anterior
Ejemplo 3
Demuestre que 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 es cierto, para cada n números naturales
Responder:
Primer paso :
Se mostrará que n = (1) es correcto
1 = 12
Entonces, P (1) es correcto
Segundo paso :
Suponga que n = (k) es cierto, es decir
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.
Tercer paso :
Se mostrará que n = (k + 1) también es cierto, es decir
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
De los supuestos:1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Suma ambos lados con u k + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Entonces, n = (k + 1) también es cierto
División
Ejemplo 4
Demuestre que n3 + 2n es divisible por 3, para cada n números naturales
Responder:
Primer paso :
Se mostrará que n = (1) es correcto
13 + 2,1 = 3 = 3,1
Entonces, n = (1) es correcto
Lea también: Comprensión y características de la ideología comunista + EjemplosSegundo paso :
Suponga que n = (k) es cierto, es decir
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Tercer paso:
Se mostrará que n = (k + 1) también es cierto, es decir
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
Dado que m es un número entero y k es un número natural, (m + k2 + k + 1) es un número entero.
Suponga que p = (m + k2 + k + 1), entonces
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, donde p ∈ ZZ
Entonces, n = (k + 1) es correcto
Desigualdad
Ejemplo 5
Demuestre que para todo número natural n ≥ 2 es válido
3n> 1 + 2n
Responder:
Primer paso :
Se mostrará que n = (2) es correcto
32 = 9> 1 + 2,2 = 5
Entonces, P (1) es correcto
Segundo paso :
Suponga que n = (k) es cierto, es decir
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
Tercer paso:
Se mostrará que n = (k + 1) también es cierto, es decir
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)3k + 1> 3 (1 + 2k) (porque 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (porque 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Entonces, n = (k + 1) también es cierto
Ejemplo 6
Demuestre que para todo número natural n ≥ 4 es válido
(n + 1)! > 3n
Responder:
Primer paso :
Se mostrará que n = (4) es correcto
(4 + 1)! > 34
lado izquierdo: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
lado derecho: 34 = 81
Entonces, n = (4) es correcto
Segundo paso :
Suponga que n = (k) es cierto, es decir
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
Tercer paso:
Se mostrará que n = (k + 1) también es cierto, es decir
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (porque (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (porque k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
Entonces, n = (k + 1) también es cierto