La ecuación cuadrática es una de las ecuaciones matemáticas de la variable que tiene la mayor potencia de dos.
La forma general de una ecuación cuadrática o PK es la siguiente:
ax 2 + bx + c = 0
donde x es la variable, a , b es el coeficiente y c es la constante. El valor de a no es igual a cero.
Formas de gráficos
Si una ecuación cuadrática se describe en términos de coordenadas cartesianas (x, y), entonces forma un gráfico parabólico. Por lo tanto, las ecuaciones cuadráticas también se denominan a menudo ecuaciones parabólicas .
Aquí hay un ejemplo de la forma de esta ecuación en forma de gráfico parabólico.
En la ecuación general de los valores de un , b , y c afectan en gran medida el patrón parabólico resultante.
El valor de a determina la curva cóncava o convexa de la parábola. Si el valor de a> 0, entonces la parábola se abrirá (cóncava) . Por el contrario, si a <0 , entonces la parábola se abrirá hacia abajo (convexa) .
El valor de b en la ecuación determina el vértice de la parábola . En otras palabras, determine el valor del eje de simetría de la curva que es igual ax = - b / 2a .
El valor constante c en la gráfica de la ecuación determina el punto de intersección de la función de la parábola en el eje y . El siguiente es un gráfico parabólico con cambios en el valor constante c .
Raíces de la ecuación cuadrática (PK)
La solución de una ecuación cuadrática se llama kar, la raíz de la ecuación cuadrática .
Varias raíces PK
Los tipos de raíces PK se pueden encontrar fácilmente usando la fórmula general D = b2 - 4ac de la ecuación general para la cuadrática ax2 + bx + c = 0.
Los siguientes son los tipos de raíces de ecuaciones cuadráticas.
1. Raíz real (D> 0)
Si el valor de D> 0 de un PK, producirá raíces de ecuación reales pero con raíces diferentes. En otras palabras, x1 no es lo mismo que x2.
Ejemplo de la ecuación de la raíz real (D> 0)
Encuentra el tipo de raíz de la ecuación x2 + 4x + 2 = 0.
Asentamiento:
a = 1; b = 4; y c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (1) (2)
D = 16 - 8
D = 8
Entonces, dado que el valor de D> 0, entonces la raíz es de tipo raíz real.
2.La raíz real es igual a x1 = x2 (D = 0)
Es un tipo de raíz de una ecuación cuadrática que produce raíces con el mismo valor (x1 = x2).
Ejemplo de raíces reales (D = 0)
Encuentre el valor de la raíz PK de 2x2 + 4x + 2 = 0.
Lea también: Tipos de ciclos del agua (+ imagen completa y explicación)Asentamiento:
a = 2; b = 4; c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (2) (2)
D = 16 - 16
D = 0
Entonces, debido a que el valor de D = 0, está probado que las raíces son reales y están hermanadas.
3. Raíces imaginarias / no reales (D <0)
Si el valor de D <0, entonces la raíz de la ecuación cuadrática será imaginaria / no real.
Ejemplo de raíces imaginarias (D <0) /
Encuentra el tipo de raíz de la ecuación x2 + 2x + 4 = 0.
Asentamiento:
a = 1; b = 2; c = 4
D = b2 - 4ac
D = 22 - 4 (1) (4)
D = 4 - 16
D = -12
Entonces, dado que el valor de D <0, la raíz de la ecuación es una raíz irreal o imaginaria.
Hallar las raíces de la ecuación cuadrática
Hay varios métodos que se pueden usar para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. Entre ellos se encuentran la factorización, los cuadrados perfectos y el uso de la fórmula abc.
A continuación se describen varios métodos para encontrar raíces de ecuaciones.
1. Factorización
La factorización / factorización es un método para encontrar raíces buscando un valor que, si se multiplica, producirá otro valor.
Hay tres formas de ecuaciones cuadráticas (PK) con diferente factorización de raíz, a saber:
| No. | Forma de ecuación | Factorización raíz-raíz |
| 1 | x 2 + 2xy + y 2 = 0 | (x + y) 2 = 0 |
| 2 | x 2 - 2xy + y 2 = 0 | (x - y) 2 = 0 |
| 3 | x 2 - y 2 = 0 | (x + y) (x - y) = 0 |
El siguiente es un ejemplo de un problema sobre el uso del método de factorización en ecuaciones cuadráticas.
Resuelve la ecuación cuadrática 5x 2 + 13x + 6 = 0 usando el método de factorización.
Asentamiento:
5x2 + 13x = 6 = 0
5x2 + 10x + 3x + 6 = 0
5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(5x + 3) (x + 2) = 0
5x = -3 o x = -2
Entonces, la solución será x = -3/5 o x = -2
2. Cuadrados perfectos
La forma cuadrática perfecta es una ecuación cuadrática que produce números racionales .
Los resultados de una ecuación cuadrática perfecta generalmente usan la siguiente fórmula:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
La solución general de la ecuación cuadrática perfecta es la siguiente:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
con (x + p) 2 = q, entonces:
(x + p) 2 = q
x + p = ± q
x = -p ± q
El siguiente es un ejemplo de un problema sobre el uso del método de ecuación perfecta.
Resuelve la ecuación x2 + 6x + 5 = 0 usando el método de ecuación cuadrática perfecta.
Asentamiento:
x2 + 6x +5 = 0
x2 + 6x = -5
El siguiente paso es agregar un número en los segmentos derecho e izquierdo para que pueda cambiar a un cuadrado perfecto.
x2 + 6x + 9 = -5 + 9
x2 + 6x + 9 = 4
(x + 3) 2 = 4
(x + 3) = √4
x = 3 ± 2
Entonces, el resultado final es x = -1 o x = -5
Lea también: Definición y diferencia de homónimos, homófonos y homógrafos3. Fórmulas cuadráticas ABC
La fórmula abc es una opción alternativa cuando la ecuación cuadrática no se puede resolver mediante factorización o métodos cuadráticos perfectos.
La siguiente es la fórmula abc para la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0.
El siguiente es un ejemplo de cómo resolver un problema de ecuación cuadrática usando la fórmula abc .
Resuelve la ecuación x2 + 4x - 12 = 0 usando el método de fórmula abc.
Asentamiento:
x2 + 4x - 12 = 0
donde a = 1, b = 4, c = -12
Construir una nueva ecuación cuadrática
Si anteriormente aprendimos cómo encontrar las raíces de la ecuación, ahora aprenderemos a componer la ecuación cuadrática a partir de las raíces que se conocían anteriormente.
A continuación, se muestran algunas formas de crear una nueva PK.
1. Construye ecuaciones cuando se conocen las raíces
Si una ecuación tiene raíces x1 y x2, entonces la ecuación para esas raíces se puede expresar en términos de
(x- x 1 ) (x- x 2 ) = 0
Ejemplo:
Encuentre una ecuación cuadrática donde las raíces estén entre -2 y 3.
Asentamiento:
x 1 = -2 y x 2 = 3
(x - (- 2)) (x-3) = 0
(x + 2) (x + 3)
x2-3x + 2x-6 = 0
x2-x-6 = 0
Entonces, el resultado de la ecuación para estas raíces es x2-x-6 = 0
2. Construya una ecuación cuadrática si conoce el número y el producto de las raíces.
Si se conocen las raíces de la ecuación cuadrática con el número y multiplicado por x1 y x2, la ecuación cuadrática se puede convertir a la siguiente forma.
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
Ejemplo:
Encuentra una ecuación cuadrática con raíces 3 y 1/2.
Asentamiento:
x 1 = 3 y x 2 = -1/2
x 1+ x 2 = 3 -1/2 = 6/2 - 1/2 = 5/2
x 1. x 2 = 3 (-1/2) = -3/2
Entonces, la ecuación cuadrática es:
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
x2– 5/2 x - 3/2 = 0 (cada lado multiplicado por 2)
2x2-5x-3 = 0
Entonces, la ecuación cuadrática para las raíces 3 y 1/2 es 2x2-5x-3 = 0.